Problème spectral inverse et équation de Szegö cubique
Séminaire Laurent Schwartz — EDP et applications (2011-2012), Exposé no. 15, 11 p.

Dans un exposé précédent [1], nous avons justifié l’introduction de l’équation de Szegö cubique comme cas modèle d’équation de type Schrödinger sans dispersion. Ce cas modèle s’est révélé être intéressant sous divers aspects [2]. Dans cet exposé, nous nous attacherons à montrer comment la complète intégrabilité de l’équation de Szegö cubique permet de résoudre un problème spectral inverse pour les opérateurs de Hankel.

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     author = {Patrick G\'erard and Sandrine Grellier},
     title = {Probl\`eme spectral inverse et \'equation de {Szeg\"o} cubique},
     journal = {S\'eminaire Laurent Schwartz {\textemdash} EDP et applications},
     note = {talk:15},
     publisher = {Institut des hautes \'etudes scientifiques & Centre de math\'ematiques Laurent Schwartz, \'Ecole polytechnique},
     year = {2011-2012},
     doi = {10.5802/slsedp.11},
     zbl = {1342.47040},
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Patrick Gérard; Sandrine Grellier. Problème spectral inverse et équation de Szegö cubique. Séminaire Laurent Schwartz — EDP et applications (2011-2012), Exposé no. 15, 11 p. doi : 10.5802/slsedp.11. https://slsedp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/slsedp.11/

[1] Gérard, P., Grellier, S., The cubic Szegö equation , Séminaire X-EDP, 20 octobre 2008, Ecole polytechnique, Palaiseau. | Zbl 1213.35397

[2] Gérard, P., Grellier, S., The cubic Szegö equation, Ann. Scient. Éc. Norm. Sup. 43 (2010), 761-810. | Article | Zbl 1228.35225

[3] Gérard, P., Grellier, S., Invariant Tori for the cubic Szegö equation, ArXiv :1011.5479 à paraître dans Inventiones Mathematicae. | Article | Zbl 1252.35026

[4] Gérard, P., Grellier, S., Spectral inverse problems for compact Hankel operators : an explicit resolution En cours de rédaction. | Article | MR 3177280 | Zbl 1304.47038

[5] Hartman, P., On completely continuous Hankel matrices, Proc. Amer. Math. Soc. 9 (1958), 862–866. | Article | MR 108684 | Zbl 0090.09203

[6] Kronecker, L. : Zur Theorie der Elimination einer Variablen aus zwei algebraische Gleischungen Montasber. Königl. Preussischen Akad. Wies. (Berlin), 535-600 (1881). Reprinted in mathematische Werke, vol. 2, 113–192, Chelsea, 1968.

[7] Lax, P. : Integrals of Nonlinear equations of Evolution and Solitary Waves, Comm. Pure and Applied Math. 21, 467-490 (1968). | Article | MR 235310 | Zbl 0162.41103

[8] Megretskii, A V., Peller, V. V., and Treil, S. R., The inverse problem for self-adjoint Hankel operators, Acta Math. 174 (1995), 241-309. | Article | MR 1351320 | Zbl 0865.47015

[9] Nehari, Z. : On bounded bilinear forms. Ann. Math. 65, 153–162 (1957). | Article | MR 82945 | Zbl 0077.10605

[10] Peller, V. V. : Hankel operators of class 𝔖 p and their applications (rational approximation, Gaussian processes, the problem of majorization of operators, Math. USSR Sb. 41, 443-479 (1982). | Article | Zbl 0478.47015

[11] Rudin, W. : Real and Complex Analysis, Mac Graw Hill, Second edition, 1980.

[12] Semmes, S., Trace ideal criteria for Hankel operators and applications to Besov spaces, Integral Equations and Operator Theory 7 (1984), 241–281. | Article | MR 750221 | Zbl 0541.47023

[13] Zakharov, V. E., Shabat, A. B. : Exact theory of two-dimensional self-focusing and one-dimensional self-modulation of waves in nonlinear media. Soviet Physics JETP 34 (1972), no. 1, 62–69.